Originaire de Poissy en France, Alexis Goulet monte à cheval depuis l'âge de 5 ans. Après avoir passé quatre années dans le circuit poney, il décide en 2008 de passer à cheval dans l'écurie de ses parents dans le Val-d'Oise. L'année suivante, il rejoint les écuries du Pole Equestre de Genainville et, depuis fin 2018, se perfectionne au seins des écuries du cavalier international Suisse, Puis Schwizer.